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一、计算题

1． 求下列函数的极值点:

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组

得稳定点（a ，a ）, （0, 0）， 由于

所以（a ，a ）为极大值点，

所以（0, 0）不是极值点， （2）由

得稳定点（1，0），

故函数f （x ，y ）在点（1，0）取得极小值• （3）解方程组

得稳定点:由于

所以

为极小值点.

2． 周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】设周长为, 腰长为X , 底长为2y , 则有

于是, 旋转体体积为

由此推出

3． 将函数展开为正弦级数

.

所以由收敛定理, 在

上

当x=0或时, 上式右端收敛到

4． 设

（1）求证:【答案】（1）令

则

同理

所以

, 即. 等腰三角形绕底边旋

, 底面半

径为

转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高

为

,

及在

. 即腰与底的比为时, 旋转体的体积最大. 上展开成正弦级数.

【答案】对f （x ）作周期性奇延拓, 得一以为周期的函数, 因f （x ）按段连续, 故可将f （x ）

,

;

.

（2）f （r ）是什么函数时,

（2）

要使

只要

所以

（c 为任意常数）时

5． 设定义在

上的函数, 在任何闭区间

上有界. 定义

上的函数:

试讨论（1）

【答案】（1）如果把x 看作时间, 那么最小值）. 间

时,

则表示从

,

对一切

到

期间

内单调递减到最小值-1,

并且

表示从

到

与

的图像, 其中

期间

的下确界（有时是

在区

当

时

,

的上确界（有时是最大值）. 函数是它的最大值. 于是,

当总有

即

（2）同理可得

（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示

.

图1