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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

2． 设

又

为空间的两组基，且

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 3． 二次型

A. 正定

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由②有

是（ ）二次型.

B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同.

5． 设线性方程组的解都是线性方程组

的解，则（ ）。

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【答案】（C ） 【解析】设即证秩

的解空间分别为

则

所以

二、分析计算题

6． 设n 阶方阵A 的全部特征值

（1）当A 可逆时，（2）当A 不可逆时，

【答案】（1）由A 可逆，则其特征值所以

则

记

则为

又

则

是0的线性无关的特征向量，故0的所有特征向量为

当

因为

所以

的特征向量是

当且仅当

【答案】先证必要性由

知，A 相似于形如

的对角阵，其中1的个数为A 的秩，又E —A 与E —A. 相似，从而有相同的秩，而

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相应的特征向量为

且

并求出

全不为0, 因为

的特征值为求证

相应的特征向量.

记则结论成立.

则

的特征值0

的重数

记

不妨设

若

故所有非零n 维列向量都是其特征向量. 若

（2）当A 不可逆时

，

线性无关，因为

故第n 个特征值

若

0的几何重数

是不全为0的数.

是非零数，且0的特征向量是式

7． n 阶方阵A 满足