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一、选择题

1． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于

因此

线性无关，且都是

的解.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

使AB=0, 则（ ）

.

【答案】C 【解析】若当C.

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

时，

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D

【解析】秩未知量个数，有零解.

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

二、分析计算题

6． 设V 是复数域上线性空间，其维数

（1）证明V 中有非零向量使

（2）如果f

是非退化的，则必有线性无关的向量胃

【答案】（1）用定理5的推论1，存在V 的一组基

对任意

是V 上一个对称双线性函数.

满足

故

若r=0，则任意

（2）若由

取

7． 设A 为n 阶方阵且0为其k 重特征根. 证明：当且仅当块放在一起记为

则有

其中B 可逆. 由此得

因此

于是由于即

中的若尔当块若阶数大于1，则必有

但0是A 的k 重特征根，因此，为k 阶. 从而

为k 阶，即

8． （1）证明：在一组基，其中

（2）在（1）中，取过渡矩阵.

【答案】（1）令

将故

线性无关. 由

故

有若r=l，则

. 表示式成为

若有

非退化，则（1）中的

时

【答案】把A 的若尔当标准形中特征根不是0的子块放在一起记为B ，而把特征根为0的子

故

的阶数为1，

，中，多项式

是互不相同的数.

是全体n 次单位根，求由基

到基

是，的

代入（6-10）, 注意到时，得

是基.

则