2017年西安电子科技大学数学与统计学院871高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
故选B.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若
是
的一个特解，所以选C.
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
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【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：
【答案】因为
而AB=BA，所以有
故有
即
7． 若
是线性空间V 的两个子空间，证明：
这里dimW 表示子空间W 的维数. 【答案】设将（I ）扩大
为
的一组基
再将（I ）扩大为今（IV ）
的一组基
，则
可证
下证再令
由⑤式有
由⑥，⑦两式知将⑧代入⑦，并移项得
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的维数分别为的维数为r ，取的一组基（I ）并
线性无关. 设有
从而所以
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