2017年西安电子科技大学网络与信息安全学院871高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则线性方程组（ ）•
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设m ，n 为正整数且
又
计算以下n 阶行列式
【答案】根据组合公式行，得
故可从D 的第n 行开始，由下而上，每行都减上一
再对第行如法炮制，如此继续下去，即得一个主对角线上元素全为（即1）
的上三角形行列式，因此，D=l.
7． （1）设
一镜面反射（2）证明：
是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在 使
维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积.
将扩充成一组标准正交基
令线性变换
满足
【答案】（1）如果
则如果.
是一个镜面反射且
则
线性无关. 令
则令
是正交的单位向量，扩充成V 的一组标准正交基是一个镜面反射满足
则
（2）对V 的维数n 作归纳法. 当n=l时，
设
则
它是V 上的镜面反射. 若k=l, 则，
若k=—1, 则
命题已成立. 的
由
决定的镜面反
射
当n>l时，设对n-l 维的欧氏空间命题已成立，现设V 是n 维的. 首先易知：设W 是V 的子空间，对
于
可扩充为V
的一个镜面反射
现在看
若
满足
令
是反射：
则若由于
命题已得证.
则必有单位向量
于是
正交变换只能
是必有k=±l. 令V 上线性变
换
任取V 的一个向量
显然，也是单位向量. 由（1）有V 的镜面反射
使