2017年西安电子科技大学网络与信息安全学院871高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 3．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
由②有
为空间的两组基，且
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】（A ）
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设A 是三级正交矩阵并且 （1）1是A 的一个特征值. （2）A 的特征多项式 可表示为 求证： 其中a 是某个实数. （3）若A 的特征值全为实数并且阵. 【答案】⑴ 则A 的转置其中E 是3级单位矩 故得出 所 以 是 所以1是A 的一个特征值； 为 即 而 不是A 的特征值， 而根据（1） 的解，故解得a+b=0，所以 （2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到A 的特征多项式（3）因为A 是三级正交矩阵，故 1是A 的特征多项式 ， 即 所以 7． 设V 是n 维欧氏空间，积. 令 义V 的线性变换为 （1）求在基（2）求A 的行列式 下的矩阵A ; 其中 是V 的一个标准正交基， 表示向量 的内 的解，代入得到a=3，所以A 的特征多项 式 是n 个不全为零的实数. 对于给定的非零实数k ，定 （3）证明：为正交变换的充要条件是【答案】（1）由题设 令且 这里A 即在基 下的矩阵， （2）