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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

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则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

分别为A ，B 的伴随矩阵，

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

则线性方程组（ ）•

二、分析计算题

6． 设

是n 维欧几里得空间V 的一组基

是由

用施密特正交化方法得

【答案】由施密特正交化方法，

记

则

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到的正交组，证明：

于是

记右端的特殊上三角矩阵为T ，则两边取行列式，得

7． 设成立.

【答案】

因

且

求的向量. 8． 证明:

【答案】设①式左端为

先加边，则

非平凡，

故有

考察

由

矛盾.

同样由

>

则

可得若有

否

则

故

则已完成证明.

若

则是所要

是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在使

同时

由

是基

是正交基，则

9． 已知1，1，-1是3阶实对称矩阵A 的三个特征值，的特征向量.

（1）求A 的属于（2）求可逆矩阵P ，使【答案】（1）设必正交，则

解之，得

故-1的全部特征向量是

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是A 的属于

的特征向量.

为对角矩阵.

由A 实对称，属于其不同特征值的特征向量

的特征向量为