2017年长春工业大学基础科学学院710数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 给定两正数
证明:
与与
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
，所以
为单调递减，
与
因此，| 2． 设
为单调递增. 并且
对
皆存在且根等.
证明：对任意正整数n ，存在即可. 若
令
则
使得，在
上连续.
即
都是有界的. 根据
两边取极限，得
单调有界定理知
于是a=b, 即在
上续，则取知
若若
，则
取不全为0, 则必有两点
中任一点即可；
使得
由根的存在定理， 3． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
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与等比中项
，一般的令
【答案】由又因为
因而
的极限都存在.
设
【答案】若
由
使得时，
•即
作为
证明：当可以用来作为曲线坐标，解出
的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.
由反函数组定理知，存在函数
组
分别对应平面上坐标曲线如图1、2所示
图1 图2
因
而前面已算得
即
互为倒数.
4． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；
(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.
【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令
则
所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，
则
所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.
(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，
所以f (x ) g (x ) 为奇函数.
则
二、解答题
5． 用区间表示下列不等式的解：
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（1）（3）⑷显然，当
（2）；
（a ，b , c 为常数，且a 即 用区间表示为 解得 【答案】（1）原不等式可化为 时，原不等式总成立. 当x>0时，原不等式可化为综上，原不等式的解为. （2）显然， 当一个数是组 即 解得 的解时，它的相反数也是不等式的解. 于是先求解不等式 于是原不等式的解集为 （3）由于a 个部分 当x 在其中任一部分中变化时， 都不变号，由此可得原不等式的解集为 （4）由单位圆中的正弦线可得 6． 讨论下列函数的连续性与可导性 . 【答案】对 对任一无理数X 均有同理，对 当 时，由于 取 在 所以f 在所以€在_ 内对任一有理数均有处都不连续，当然也不可导. 处连续，但由于 在对 时极限不存在，因而f 在由于 所以 当然g 在 处也连续. 7． 求下列不定积分： 【答案】（1）当由于 在 时 ， 上连续，故其原函数必在 第 4 页，共 27 页 的解集是 k 为整数. 在处也不连续、不可导. 处不可导. 当时，连续可微. 因此