2017年长沙理工大学数学与计算科学学院703数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由故
且满足即
求证
：
有下界，又由则
的极限存在，并求出极限值.
存在，若
由广义极限的四则运算法则，有
由此可见
进一步由极限的四则运算法则，有
即得
2． 设f 在
(2)
【答案】(1) 由得
并且对一切
故f 在R 上连续. (2) 对整数
有
所以
于是对任何有理数r 有上连续，有 3． 若
【答案】由题设存在
对任何无理数
故对任何
存在有理数列
，
使
由f 在R
即
连续，且对任何
可知
于是
由f 在x=0连续可
有
证明：
(1) f 在R 上连续；
为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则
，由连续函数的局部保号性知：
使得对一
切
故
4． 设由行列式表示的函数
，
有
且连续，所
以
其中
的导数都存在，证明
【答案】记
由行列式定义知f 为元的可微函数且
于是由复合函数求导数法则知
记①右边行列式中的代数余子式为则
从而代入②，得
其中
是将元素
去掉后得的
阶行列式，它恰为行列式
中的代数余子式，于是由③知
二、解答题
5． 已知
且
是在点
上的连续函数，它在处可导，求曲线注意到当在点
时.
的某个邻域内满足关系式
在点处的切线方程.
题设条件可改写为
又因为
处可导，所以
将（1）式代入改写了的题设条件（2）式，得到
从而，所求切线方程为
6． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
【答案】令且
图
【答案】椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
故所求体积
7． 计算第二型曲线积分：
(1)(2)(3)(4)
【答案】(1)因
其中L 为螺线其中L 为圆周，其中L 为其中L 为从
，从而
设垂直于X 轴的截面面积为则由相似三角形的
沿t 增加方向的一段；
依逆时针方向；
与z 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；
的直线段.