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一、证明题

1． 证明

:

分别取D 为

且

【答案】考虑二重积分因为

所以

故

2． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:

（1）若对任何有理数

有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;

有. 又因为

则f 在I 上严格增.

使.

当并且）, 和

, 所以

（2）若对任意两个有理数

由f 的连续性得

（2

）设有两个实数由使得当

而当

, 满足可知

,

时,

时

,

【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,

存在有理数列

为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.

, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得

,

两点连续.

,

存在

, 从而,

从而

. 再由

故f 在I 上严格递增. 3． 证明

, 其中

*

【答案】令x=au, y=bv, z=cw, 则

所以

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因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在

.

对于正数

（设；

.

存在有理数

知,

二、解答题

4． 计算第二型曲线积分

【答案】由题意可令

, 其中L

是从A （0, 1）沿

则

所以积分与路径无关, 选择A 点沿y 轴到原点, 再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而

5． 为了使曲线积分

与积分路线无关, 可微函数F （

x , y ）应满足怎样的条件?

6． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

7． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）,

求球体的重心位置.

【答案】方法一

记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为

密度函数为

设重心坐标为

, 由对称性可知,

,

【答案】这里

P=yF （x ,

y ）, Q=xF （x , y）则该积分与路线无关

到

的一段曲线.

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页

而

故

因此球体的重心位置为

.

方法二

选取P 0为坐标系的原点

, 球心坐标为（0, 0, R ）, 则球面方程为

而此时密度函数为

. , 由对称性知, 设重心坐标为

而

故

因此球体的重心坐标为 8． 设

【答案】

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.

试确定a , b 的值, 使f 在x=3处可导.