2018年北方工业大学理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答下列各题
1． 设
与
在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为uv 平面上的
,
在E 上一致连续.
使得对一
切
, 因为f （u , v ）在D 上一致连续, 所
以
, .
, , 只要
其中
当
, --故复合函数
2． 设函数
和
在,
时有
在E 上一致连续. 内可积, 证明:对
内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于
可积, 所以
所以
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点集D , f （u , v ）在D 上一致连续. 证明复合函数
【答案
】
, 只要又
, 有,
就有.
从而
.
, 对一
切
,
, ,
对一切
在E 上一致连续, 于是对上述
的
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所以原命题成立.
3． 设f 为区间I 上的单调函数. 证明:若
【答案】设f （x ）为I 上的单调递增函数. 得f （x ）在限的单调有界原理知断点.
4． 设
与
为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.
若不是I 的端点, 则存在x 0的某邻域
内递增且以
使
为下界, 由函数极
内递增且以f （x 0）为上界, f （x ）在
都存在. 故若x 0为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.
当x 0为I 的左（右）端点时, f （x ）在的右（左）极限存在, 故若为间断点, 则必为第一类间
, 证明函数存在惟一的零点.
, 所以存在
, 所以f （x ）在
使
.
之间至少存在一个零点.
上单调递增, 所以f （x ）存在惟一的零点.
【答案】因为
则由f （x ）显然连续知
, f
（x
）在
又因
5
． 证明公式
【答案】
6． 设u
（x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明
:
其中
是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.
, 所以
因为
在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得
故
【答案】因为
二、计算下列各题
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． 确定正数
使曲面
【答案】
设两曲面在点
与椭球面
相切, 则曲面
在某一点相切（即在该点有公共切平面）.
在点
的切平面
与椭球面在点的切平面
应为一个平面, 所以
即
又从而
故所求的正数
3
8． 设V 是R 中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面
x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面
外向法矢与正x 轴的夹角, 求
【答案】由高斯公式
令
由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面
而平移变换不改变立体的体积. 所以
从而
|其中L 为上半圆周
从（a , 0）到
（﹣a , 0）
9． 应用格林公式计算曲线积分
的一段.
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线, 不能应用格林公式, 加上从（﹣a , 0）到（a , 0）的直线段L 1, 则有
其中D 为封闭曲线L+ L1所围成的区域, 由极坐标变换,
即原积分
.
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页
, 所以
是, 的
对称，且
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