2018年中国石油大学(华东)理学院704数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 计算下列第二型曲面积分:
（1）（2）
其中
是闭曲面（3）（4）其中为锥面有连续导数;
（5）
其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;
（6）
, 其中是平行六面体
的表面并
,
绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右
和球面
, 其中是抛物面
,
所围立体表面的外侧, f （u ）具
, 取外侧;
, 方向取上侧;
其中为锥面
的外侧;
取外侧, f （x ）, g （y ）, h （z ）为上的连续函数;
（7）
【答案】（1）补充平面公式得
而
所以
（2）闭曲面是由八个平面
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, 其中为椭球的表面, 取外侧.
, 取其上侧,
设与
围成的区域为
则由高斯
组成, 其围成的立体为, 取外
侧, 由高斯公式得
令
区域在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3）用
表示以原点为中心、
,
则
为半径的上半球面, 取上侧, 取充分小, 使在的内部.
记
的部分, 取下侧,
表示曲面
围成
为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得
而
取为平面
取下侧, 则由高斯公式得
故原式=原式
其中为锥面作球坐标变换于是原式
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.
（4）由高斯公式得
和球面
所围成的立体.
, 区域变为
:
（
5
）
的方程为取右侧
. 补充平面取右侧,
设与所围区域为, 则由高斯公式得
（6）
由于是平行六面体, 有四个平面垂直于
xy 平面
, 所以有
类似可得
于是
（7）
下面利用广义极坐标计算
同理
故
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