2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
2． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
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间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
同理可得
由此得必要性:若由此得
3． 设
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列，所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大时
，
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
4． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
5． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
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的泊松分布
独立同分布，且令试证明:其中c 为常
有
6． 若因为
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
所以有 7．
设计.
【答案】由于
独立同分布
,
，即得. 证明
:
是的相合估
这就证明了
8． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
证明
则
是的相合估计.
也服从
从而
二、计算题
9． 设
【答案】因为在离散场合，当值时，
时，
存在，试证:
是随机变量Y 的函数，记以概率
取
它仍是随机变量. 由于在Y 取固定
上式对Y 的任一取值都成立，即
一般场合有
10．
某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，
测得样本标准差为批导线的标准差显著地偏大？
【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
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也是常数，故有
在连续场合也有类似解释，所以在
今在一批导线中随机抽取样品9
下能否认为这
，设总体为正态分布，问在显著性水平
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