2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知 2． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
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【答案】因为所以
服从大数定律.
分别为样本的均值
相互独立知,
也相互独立,
所以
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
时,
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
知从而将①, ②代入
可得
① ②
从而得到目的最大似然估计量为
3． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
9
从而，进一步，
为
的UMVUE.
，C-R 下界为.
.
，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
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4． 设为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
试证明:当n 充分大时
，
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
5． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
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常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
时有
服从参数
的柯西分布.
的特征函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.