2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
的方差为
【答案】
3． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
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故有
即X 与Z 不独立.
2． 证明:容量为2的样本
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
，这就完成了证明.
4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
的泊松分布.
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
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5． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
证明:
时，一致地
当
时，
存在
6． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
7． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
8． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
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时都为0, 等式得证.
一致有界，即存在常数c 使得
的方差
【答案】因为
服从大数定律.
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
因而
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
故
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