2018年湖南省培养单位亚热带农业生态研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
第 2 页，共 38 页
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又
时
此时方程组无解. 令
非零可知，是A 的个
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故
3
． 设n
维列向
量
【答案】记
线性
无关，其中
S 是大于2的偶数. 若
矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解
.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而有无穷多解. 易知特解为
第 3
页，共
38
页
对应齐次方程
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
组的基础解系为数.
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
从而②的通解，
即①的通解为A 为任意常
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5．
设
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
【答案】设A 是A 的特征值，
则
0,
故则A=1或A=2.
6． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：
【答案】
⑴记
第 4 页，共 38 页