2018年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
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即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当
a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵
C 为
其中
3．
已知
与
为任意常数.
相似. 试求
a , b
, c
及可逆矩阵P
，使
【答案】由于故
B 的
特征值
为
从而B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，得
有即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值，
故
再由得b=-2, c=2，于是
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分别求A
的对应于特征值1
，2, -1的特征向量得
：令记
有
. 因此
即
则P 可逆，且
4
．
已知A 是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解. 对
有非零公共解，求a
的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（
Ⅱ）如果齐次线性方程组
【答案】
（1
）记
A 的行向量）是齐次线性方程组
得到
所以矩阵
的基础解系为
（
Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可