2018年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
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则P 可逆，且
2． 已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形
，并写出所用正交变换；
（Ⅱ）若A+kE:五正定，
求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为
A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量
.
是
1的线性无关的特
，
由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0, 得
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3． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0时，则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意.
线性无关，可作为三个不同特征
（
Ⅱ）
4． 已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
知
的基础解系，即为
的特征向量
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵