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一、证明题

1． 设

证明： （1）（2）【答案】（1）由

是

的有效估计； 是知

的无偏估计，但不是有效估计.

为了获得

的元偏估计的C-R 下界，

是来自正态总体

的一个样本，若均值μ已知，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

从

而

的元偏估计的C-R 下界

为故

不是

由于无偏估

计

的方

差

的有效估计. 此处

，的无偏估计的C-R

下界与

的方差的比为

该比值常称为无偏估计的效.

2． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

,

这与前面推出的

, 由此得

, 试证:随机

【答案】

3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

4． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

5． 设

服从大数定律.

【答案】因

即A ，B 相容.

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如

的

估计中，最优.

6． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

7． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以