2017年北京市培养单位生命科学学院803概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自几何分布
的样本, 证明
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
统计量的真实含义.
2． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
上式移项即得结论.
3． 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
‘所以, 对任意的
时,
有
, 当
所以有
结论得证.
4． 同时掷5枚骰子，试证明：
（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
2枚组成“一对”，共有以
（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有
种可能，所以所求概率为
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得
其中常数而当时, 有
, 令
时,
有
个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所
种分法，
（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
5． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T
是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
故T
是
的无偏估计量。（II
）当
6． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
7． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
时，
所以
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，