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一、证明题

1． 设

在

内有定义，且

求证：【答案】因为

所以对任意给定的

使得当

由

得

因为

所以对

令

取极限得到

从而

2． 设

(1) (2) (1) 设(2) 设

则 右边

则

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时，

证明：

左边.

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

右边

3． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

使得因

在

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

4． 证明：

若

【答案】

由于

有

已知

因为

在点

故当左连续，所以

时有

即

从而

在

上连续，从而

在

上有界，B 卩

有

在

上可导，

且

对

有

令

则

均有

分别为

在

左边.

上的上、

且

，

则

于是

二、解答题

5． 计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面

方向向上. 有

而

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所截部分的外侧.

•

从而，

6． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

到含的项；

到含的项.

【答案】

因此

带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为

故

于是

故有

于是

7． 试作适当变换，计算下列积分：

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