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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

不

是则

为

的聚点，

则

使得

由于在

中至少有一个聚点.

2． 证明：若在则

上为连续函数，且对任何为常数。

【答案】由题设知，

当

特别对任何

3． 设

【答案】由上确界定义，对

今

时

，

则有

使使

又由

4． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

由迫敛性得

收敛，证明

收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

由比较原则可知级数发散.

收敛.

于是对任

何

这里成立.

有 为常数。

有

常数，

. 为有限点集

所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故

使

得

为有限点集.

记中有限个邻

域

显然若有聚点，则必含吁

中. 假设

的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存

在

证明：存在

二、解答题

5． 计算积分

【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)

图

于是

6． 设

【答案】

7．

求曲面

【答案】由于

所以曲面面积为

8． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积。

和

所围图形的面积为

其中，为可微函数，求

的面积，其中a ，b 是常数满足

【答案】如图所示，曲线与x 轴、y 轴的交点为

图

9． 将以下式中的

变换成球面坐标

的形式：

【答案】

故有

对上述变換

有

因为

所以

故

10．计算积分

其中

是球面

的外侧

由教材第2题的结果，得

对变换