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一、证明题

1． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则

【答案】设n 和的方向余弦分别是

由第一、二型曲面积分之间的关系可得

由的方向固定，

原式=

2． 设实值函数

及其一阶导数在区间

上连续，而且

则

【答案】先来证明一个不等式，一般称为

(

设

则

两边从a 到b 取积分，有

由于等式右边对

都成立，知

则(1) 设

不等式成立.

则由

公式有

即

不等式，即

是

上的可积函数)

都是常数，故

由高斯公式得

和

其中n 为曲面S 的外法线方向。

则

下面再来证明题目：

两边开方即得证. (2) 同样由

公式有

即

等式两边从a 到b 积分得

所以原命题成立.

3． 证明：若级数

收敛

，又因为

即

绝对收敛，则级数

收敛，则其部分和数

列

收敛，从而

绝对收敛，由阿贝尔变换知

又由即

所以即

收敛.

也收敛.

有界. 设存在正数M , 使

得

【答案】因为级

数

收敛可知收敛. 设

则

4． 设

在上三阶可导，证明：存在实数使得

使得.

这是因为，若.

而且当

使

考虑

时，

. 这是因为，若

.

而且当

，使得

的假设下证明本题的结论.

由泰勒公式，

有

则必有考虑

时，必

中有一个为零，则结论显然成

【答案】若存在一点立. 因此，不妨设

不失一般性，假设则

进而，

不失一般性还可假设

则

有

于是，在

其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有

当

其中在x 与

则

5． 设数列数列

与

之间. 由此可知，存在

当时若取

满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.

又

存在正整数N , 当

所以

是单调有界数列，故

证明：:收敛. 由柯西

【答案】因为收敛准则知，对任意的

于是

时，有

由柯西收敛准则知， 6． 设

【答案】设由于

收敛.

为m 个正数，证明

：

则

因此