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一、证明题

1． 设曲线明

【答案】由对称性知

2． 证明：若函数f , g 在区间

【答案】令于是，F (x ) 在

上严格递增，故当

上可导，且

则

时

即在

上有定义，且在每一则

使得在

的一个

3． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则

在内有

开覆盖.

(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使

得

则

矛盾。

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的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令证

则在内有

上有界.

设

即

在

以此构造闭区间

上无界，则对任意正整数n ，存在

. 中存在收敛子

列

设

【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，

于是得到数列由致密性定理

，

(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得

在每个区间

论在点邻域内的有界性，推出矛盾.

4． 证明：若在区间A 上有界，则

在上无界，则利用二等分法构造区间套

然后讨

上无界. 由区间套定理，存在唯一的

【答案】

记

故

界的定义知，

分别存在故

5． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

为常数.

6． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】

对闭区间

所以存在一个开区间

间覆盖，从而

若这与

7． 证明

：

【答案】令

其中

因为

所以函数

所以

在即

上是凸函数. 因此

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若

有

则为常数，等式显然成立.

设

另一方面

则

由上、下确

使

及

即

上有任何阶导数，

记

且在任何有限区间内

，

试证

从而由上界确定义知

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

的任一开覆盖

使得

覆

盖则

构造数集如上，

显然有上界. 因为

覆盖闭区间

取

使

得

取加进去可知

使

得

知，存

在

则

能被

中有限个开区

即非空. 由确界原理知，存在由

即

，

则

矛盾.

故

能被中有限个开区间覆盖，把可被H 中的有限个开区间覆盖.

用类似的方法可以证明

而

二、解答题

8． 设函数

【答案】

9． 设

满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件； (2) 在

【答案】⑴设

由已知条件

内连续；

内具有一阶连续偏导数；

故当

时，原方程组能在(2) 在

的邻域内确定

为U 的函数.

的情形下，上述条件相当于什么？

在点x 三阶可导，

且

若f （x

）存在反函数

试用

的情况下，上述条件相当于

即

两两互异.

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