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一、证明题

1． 证明

【答案】对任意的函数

在取

2． 设f (x ) 是区间

使得

(1) (2)

恰好是

是或

当当

时，取时，取

且

重复上述过程：若对任意

或有

或者存在

此时，因为假如

即所以

的

由于矛盾.

并且

有

是

在

上的最小值

是

在上

最大值.

且

递増有上界

且

使

使

递减有下界，所以存在

是连续函数，可以推出

使

这样再重复上述过程，得到

有时，

取

此时结论成立.

【答案】因为

在若对任

意

则有则有

则结论成立. 否则，即存在点

有

且当

有

时，

取

使得

使得

即总存在

上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以

有

设

使

则结论成立. 否则，即存在

点

上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：

存在

上是严格减函数. 于是

当

，

则当

时

，

时，

有

即

其

中故

由不等式

得

. 限制’

. 当

时，

3． 设

(1) (2) (1) 设(2) 设

证明：

左边. 左边.

有

证明：

则 右边

则 右边

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

4． 设f 在

(2)

连续，且对任何

(1) f 在R 上连续； 【答案】(1) 由得

并且对一切

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有 5． 设在

为上一致收敛. 【答案】任取一个趋于

的递増数列

(其中

) ，考察级数

由于势

在

6． 证明抛物线

【答案】

可知于是由f 在x=0连续可

对任何无理数

故对任何

上连续非负函数，

存在有理数列

在

使由f 在R

上连续，证明

且连续，

从而

上一致收敛，由(a) 及教材

且在

在

上连续由狄尼定理得级

上一致收敛.

定理19.8推得

在顶点处的曲率为最大。

显然当由

时

，得

即抛物线

是单调递减的. 故当

时，取最大值。

在顶点处的曲率为最大。

二、解答题

7． 变换比行列式

【答案】方法一把x , y 写成u ，v 的函数：

所以

逆变换的雅可比行列式为

y 或u ，v 时，方法二 若变换不易解出x ，我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式，一般来说所得行列式可以含有变量x , y ，u ，v 。方程组先对u 求偏导数，得

解出

再对v 求偏导数，得

解出

所以

8． 对幂级数一致收敛性.

【答案】(1) 记

把区域变为区域试求雅可

(1) 求其收敛域；(2) 求其和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的