2017年中国海洋大学数学科学学院617数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是凸域，
且满足
证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：
根据条件
故有
上式消去并令这表明矩阵
即得
是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.
2． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】
设是非空有上界的数集
，确界.
若无最大值，
任取
否则记左半区间为
得一区间套
侧不含的点.
由S 的上确界.
首先
，
于是在
充分大时有
3． 设
有
若不然，
则存在
使得
使得
因为的上界. 其次，
所以存在正整数
由
使得
的右侧含有中的点，矛盾，
故
是于是存在
知，当n
数列
将，然后将单调递增，
是的一个上界.
若
有最大值，
则最大值即为的上
如此下去，
的右
，往证为
二等分，
若右半区间含有的点，
则记右半区间为
二等分，用同样的方法选记单调递减，且
使得
，
中含有的点，在
是半正定的.
为任一向量，当t 充分小时，点，
单调递增有上界，
所以存在
.
即为的上确界.
证明:f 在D 上连续，但不一致连续.
【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.
取
无论及
取得多么小，当
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取到某个，n 时，
总能使
当时，
从而
在D 上不一致连续.
存在. 证明
：
绝对收
敛
4． 设函数f (x ) 在点x=0的某邻域内有定义
，
【答案】
由于
存在且
则有
从而
故
因为
义有
(否则
5． 证明：若级数
【答案】假设发散.
6． 设
也发散是
m ，收敛. 因
_
.
上的有界连续函数，证明:对任意使得
【答案】记(1) 若存
在
使得
当
则
这表明记为上
由
可得
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绝对收敛
.
绝对收敛，所以
又f (x ) 在点x=0连续，所以f (0) =0, 由导数定
当
的敛散性相同，矛盾) . M
；
也发散.
收敛，这与题设
. 发散矛盾，
所以若绝对收敛时，
只能有
. 故级数
存在数列满足
分三种情况讨论.
时，恒
有
而且
是单调递增数列. 注意到
的有界性，利用单调有界定理，
存在，
即
取
(2) 若存在
(3)
若存在
使得当
满足
：
时，恒有
使得
这种情形可仿照(1) 证明.
. 使得而且
由连续函
于是，有
数根的存在定理知，存在
二、解答题
7． 设
【答案】对当
取
讨论
即
时，有
，
于是，由，
数存在； 记
当
时，因
可知
不能写成
的形式，即
在原点处
在原点处连续；
及
知
在原点处的两个偏导
在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于(0, 0) 的艰域
不可微.
8． 按函数作图步骤，作下列函数图像：
【答案】（1）函数下几点
：
由
得
表1
的定义域为
容易求得曲线与坐标轴交于以
由
得稳定
点
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