2018年北京信息科技大学理学院610数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． （1）设
（a0且
）, 求
;
（2）设f （x ）是三次多项式, 且有
求
.
, 其中为
时的无穷小量.
【答案】（1）由假设可知, 而
,
所以
进而
从而
（2）由已知条件可知, （x-2a ）、（x-4a ）都是f （x ）的因子, 故可令f （x ）=A（x-2a ）（x-4a ）（x-B ）, 其中A , B 待定.
于是有
联立（1）、（2）求解得. 即
,
故
.
,
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2
．
在
得
上把下列函数展开成傅里叶级数
【答案】易知f （x
）是上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可
所以
故其傅里叶级数为
3
．
求
分, 取外侧.
【答案】球面在点（
x ,
y , z ）处的法向量为
, 由两类曲面积分的关系, 有
其中
:
作极坐标变换, 有
4． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:
（1）（2）（3）（4）（5）
, 其中
S 是球面的第一卦限部
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（6）（7）（8）（9）
【答案】（1）经判定可知该点集是有界集, 也是区域, 但既不是开集又不是闭集. 其聚点为中任一点. 界点为矩形[a, b] ×[c, d]的四条边上的任一点.
（2）该集为开集, 不是有界集也不是区域, 其聚点为平面上任一点, 其界点为两坐标轴上的点. （3）该集为无界闭集, 不是开集不是区域, 其聚点为坐标轴上的任一点, 而界点与聚点相同. （4）该集为开集, 且为区域, 聚点为满足集内的任一点和任一界点.
（6）该集为有界闭集, 聚点为闭集中任一点, 界点与聚点相同. （7）该集为有界闭集, 聚点为集合
中除去x +y＜1部分.
（8）该集为闭集, 没有聚点, 界点为集合
5． 设
（1）求证:（2）求【答案】（1）
化简即得方程, 两
边求n 阶导数, 得
化简得
由此, 令x=0, 得
, 这是
的递推公式, 根据这个公式, 有
, .
为了求
, 对第（1）小题所证的
（2）显然y （0）=0, 由第（1）小题知
.
均为整数）中的全体点.
上的点, 界点与聚点相同.
（9）该集为非开非闭的无界集, 聚点为点（0, 0）及曲线
,
;
2
2
上任一点, 界点为上的所有点.
（5）该集为有界开集, 界点为直线x=2, y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点, 聚点为开
或中的所有点, 界点为聚点
6． 求
.
【答案】由分部积分可得