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一、解答题

1． 计算下列第二型曲面积分

（1）

方体表面并取外侧为正向;

（2）取外侧正向;

（3）侧为正向;

（4）（5）

【答案】（1）因

所以原积分由于

因此原积分=3× 8=24. （3）由对称性知,

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, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立

其中S 是以原点为中心, 边长为2的立方体表面并

其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外

其中S 是球面的上半部分并取外侧为正向;

, 其中S 是球面

并取外侧为正向.

.

（2）由对称性知只需计算其中之一即可.

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（4）作球坐标变换, 令

►则

（5）由轮换对称知只计算

,

由

,

利用极坐标变换可得

因此原式=

2． 求螺旋面

【答案】由于所以曲面积为

3

．

设

【答案】由’

, 其中z=f（x , y ）由方程

所确定的隐函数求

故

4．

判别下列广义积分的收敛性:

（1）

（2）

, 有

, 即

, 所以对N=1, 及

,

的面积.

, .

,

, 故

所确定的隐函数z=f（x , y ）得.

【答案】（1）方法一因为便知积分

收敛

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页

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方法二当时

, , 而

,

即广义积分（2）因为

5． 求函数

收敛, 从而收敛, 即得收敛.

收敛.

, 所以由第（1）小题知广义积分

的傅里叶级数并讨论其收敛性.

【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数, 故

所以由收敛定理, 当又因f 延拓后在

6． 设a 0, a 1, a 2•••为等差数列

（1）幂级数（2）数项级数【答案】（1）因（2）考虑幂级数设

, 因

则

时

上连续, 故上式对任

, 试求:

均成立.

的收敛半径； 的和数.

所以收敛半径R=l.

故该幂级数收敛半径为R=2, 且收敛域为（﹣2, 2）.

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