2018年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x
）在
内可微, 且满足不等式
证明:存在一点
, 使得
【答案】由已知的不等式,
. 令
则
由推广的罗尔定理
, 使得
即
2． 证明:
对
一致收敛.
【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式
.
（令
对I 1而言, t=0为奇点. 由对I 2而言,
综上可知,
3． 设f 为
（1）
（2）
上的连续函数, 证明: 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是f （1）=0.
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）
及及
（b < 1）的收敛性知, I1在[0, b]上一致收敛. （6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.
为奇点. 由
在[0, b]上一致收敛.
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【答案】 （1）因
f 在所以
上连续, 故f 在即
在
上有界, 设上收敛, 且收敛于
（2）必要性 由
可得其极限函数g （x ）在充分性
可考虑将因为
f （l ）=0, 故当当
时,
在
分成两部分讨论.
上连续及在
上一致收敛,
上连续
, 从而.
又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意
存在
时, 有
故对上述的当n>N时, 任意的 使得
存在N , 当n>N时, 对一切
有
故
总有在
所以,
上一致收敛.
4． 证明:若f （x ）在[a, b]上连续, 且
. 又若
【答案】利用反证法. 若
（或<0）,
这与令
矛盾
. 所以
使得
.
若f （x ）只有一个零点x 1, 不妨设当
, 则在（a , b ）内至少存在两点x 1, x 2
,
, 这时f （x ）在（a , b ）内是否至少有三个零点？
, 则f （x ）在（a , b ）内恒正或恒负, 从而
时,
f （x ）>0, 当
时f （x ）<0.
则当且时有g （x ）<0, 从而, 但
矛盾, 故又当不妨设再令
, 使得时f （X ）>0,
使得
.
,
时f （x ）>0.
. 时
, 若f （X ）只有两个零点
时
, 同样引出矛盾. 故
5． 按柯西收敛准则叙述数列
（1）
（2）
发散的充要条件, 并用它证明下列数列{u}是发散的:
（3）
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【答案】数
列
使得
（1）取故数列（2）取
发散的充要条件是:存
在
对任意的正整数N , 都存在正整
数则有
并且
. 对任意的正整数N , 取
发散.
对任意的正整数N , 取
则有并且
故数列（3）取故数列
发散.
对任意的正整数N , 取发散.
为
, 则有
6． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积
其中【答案】因
为曲面S 的外法线方向余弦.
故原公式成立.
二、解答题
7． 设有一吊桥, 其铁链成抛物线形, 两端系于相距100m 高度相同的支柱上, 铁链之最低点在悬点下10m 处, 求铁链与支柱所成之角.
【答案】建立如图所示的坐标系, 则悬点A , B的坐标分别为链的方程为
于是
, 铁链与支柱所成之角
和
. 由此得铁
图
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