2017年重庆大学数学与统计学院820高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设次型. A. 为任意实数 第 2 页，共 39 页 为空间的两组基，且 由②有 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则当（ ）时，此时二次型为正定二 B. C. D. 【答案】D 不等于0 为非正实数 不等于-1 则 【解析】方法1 用排除法令 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当方法3 设 时，f 为正定二次型. 对应的矩阵为A ，则 A 的3个顺序主子式为 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 所以f 为正定的. 4． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 第 3 页，共 39 页 是（ ）二次型. 是不定二次型，故选B. 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 5． 设 是3维向量空 间的过渡矩阵为（ ） . 的一组基, 则由 基 到 基 【答案】（A ） 二、分析计算题 6． 设是复数域C 上的本原n 次单位根（即 令 而当 时 ，s ，b 都是正整数， 而且） 有无解，有多少解，写出理由. 任取判断线性方程组 【答案】A 是一个矩阵，其前s 列组成的子式 为一范德蒙行列式. 因 有 所以 说明对 互不相同， 从而 有无穷多解. 这样立知 所以对方程组 第 4 页，共 39 页
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