2017年中山大学数学与计算科学学院868高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
都是4维列向量，且4阶行列式
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
到基
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 5． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 对任意的自然数n , 均有
【答案】证法1:归纳法 n=0 时，
设n=k时，
当
时，
由上式及归纳假设知证法2:设因为
命题得证.
的两根记为
所以
结合
互素，
知
7． （1）若A 为正交阵，那么
（2）若A 为n 阶非奇异阵，（3）【答案】 （1）（2）
由定义知
所以
但
8． 设
所以证明：
【答案】（1）任
意
. 即这就证明了（2）任意对
由
显然有
自然有
则
有
即有故
又对时总有问：
即
有
故
故
又
若
由
则
有
故
（3）设是A 是任一特征值，a 是相应的特征向量，则
为伴随矩阵，试证
则A 的特征值只能是±1.
9． 设A ，B 为n 阶方阵
，
①二次型②若由于的矩阵为②若
的矩阵为何？
则A 与B 是否相等？
虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.
对称，故
【答案】①因为未假设A 对称，故
则A 与B 不一定相等. 例如，
但是
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