2017年重庆师范大学数学学院829高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 2． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由②有
为空间的两组基，且
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
则线性方程组（ ）•
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
的3个线性无关的解，为任意
二、分析计算题
6．
方幂. 例如
（1）设
的根称为它的本原根（或称n 次本原单位根，如果这方程的任何一个根都是
就是一个本原根. 证明:
是本原根，则
是本原根当且仅当
由此可知
的本原根的数目
的
n 中与n 互素的数的数目. 记为（
2
）
设
称为欧拉函数.
的
全
部
本
原
根
记
为
它被称为分圆多项式，则【答案】（1）先证因方
幂. 又反之
设
故
k 使有整数1，
是整系数多项式.
是本原根.
于是
的方幂，即
是本原根.
这
里
否
则
故是
的
的任一根是的方幂，当然是是本原根，于
是
于是
作带余除法，
设
就是
的全部n 个根.
由
只能故有
是整系数. 结论成立. 设
为整系数多项式.
（2）对n 作归纳法. 当现
来证明n=k时设于是
是
令是
的本原根. 故
则
是整系数的. 是k 的全部因子，且
令是的一个本原根. 由
的全部k 个不同的根.
=1是不同的元，又是
的全部个根.
故
其中又
及
皆
小
于
k.
故
的每个因式都在与次本
原单位根是互不相等的（
前者有中的因式是数域中整除
中.
若
是中与互素的全部的数. 由
在
由归纳假设
之时
是整系数的. 中
，
即
的因式中出现. 当
个不同的方幂，
后者有中的因式与
中互不相同的因式.
因此
的任一根
若（1, n ） =1，则它是n 次本原根. 则
次本原单位根
，因
此
个不同的方幂）
在复
这因子在
于是
是n
必为某
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