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一、证明题

1． 求

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

于是由式(1) 可得

即

再在式(1) 中，令

可得

2． 设f 在区间I 上有界，记

证明

【答案】对任意的

有

于是有

即

故

设为任意正数，则存在使得

于是有

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故

3． 证明：若函数f , g 在区间

【答案】令于是，F (x )

在 4． 设

证明

令于是

5． 证明:若

则.

为.

对任意

上连续，所队有

其中

依次进行下去，可知存在当又

时，有连续，所以

有

所以

使得

'

在

有

上存在最大值M.

其中

上的连续函数，且对一切

有

则.

从而原不等式成立.

故

在

上单调递减.

上严格递增，故当

上可导，且

则

时

即

则在

内有

【答案】原不等式

【答案】

显然

，

而对于上面的

对一切

二、解答题

6． 设

求证递推公式：

【答案】因为

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所以

7． 求内摆线

所围图形的面积（图）。

图

【答案】所围图形的面积为

8． 求下列复合函数的偏导数或导数：

⑴设(2)

设(3)

设⑷设(5)

设(6)

设【答案】(1) 令

则

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