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一、证明题

1． 设

【答案】(1) 当A=0时，由

此即(2) 当

时，由于

令而

2． 证明

【答案】(1)

证法一致连续定理知，f (x ) 在

上一致连续. 对

上一致连续.

因为任

在闭区间

有

所以，对任给的

且

由定义知，f (x ) 在(2) 证法二：任给

设

就有

上一致连续. 综上，

设

在则有

由故

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，用

，

语言证明：

当

时，有

则

存在

当时，有

上连续，据一可取

只要

上一致连续.

得

在

取则当

并且

时有

上一致连续.

3． 证明下述命题：

(1) 设为(2) 设为要条件为

【答案】(1) 取故(2) 由于在

收敛，从而

上

上的非负连续函数. 若上的连续可微函数，且当收敛.

则由收敛.

均为连续函数，任给

有

设即

收敛，由收敛.

又若由于

的单调性可知，

收敛，

则对任给

存在

从而可知

使得当使

于是令

故有

所以有

存在，即

收敛. 劼

收敛的充要条件是

收敛.

_可知

存在，

时，

有

收敛，可知

也收敛，而

收敛，则时，

也收敛.

收敛的充

递减地趋于0, 则

不变号，故由积分中值定理知，存在

4． 用定义证明下列极限：

(1) (2) 若

(3) 对黎曼函数

有

【答案】(1) 设

对

(当因为

取

则当

时有

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则

时考虑单侧极限).

即

(2) 对

由

于是有

取

(3) 设

限个有理数

使得

对

，因为满足

，因而可取

的正整数q 只有有限个，从而在

使得

中至多只有有

则当

时，有

从而有

故

则

当

时有

假设

内不含上述有限个有理数，

于是当从而

(当

时考虑0

时，不论x 是有理数还是无理数，都有

的右去心邻域和1的左去心邻域).

5． 证明：若函数f (x ) 在(a ，b ) 内有连续导数

且

则函数列【答案】因为

在(a ，b ) 内闭一致收敛于函数

即函数列取朗日定理得

由

上连续，从而一致连续，则

当满足

即

对时有

于是有

即

上一致收敛于

当n>N时，

对

的极限函数为

当

时有

于是当

时，由拉格

存在正整数

二、解答题

6． 求下列函数的高阶导数：

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