2017年中国矿业大学(徐州)理学院643数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 若
为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则
，由连续函数的局部保号性知：
，
有故
2． 设
在
上二阶连续可微，对于任何
证明:无穷积分【答案】因为有
所以存在
由于
因此
有
由泰勒定理，存在可得
.
有
所以
由于 3． 设
证明
并说明其中等号何时成立.
【答案】由于
因此 4． 设
证明
令于是
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，
【答案】由题设存在使得对一
切
且连续，所
以
且
收敛.
所以对任意充分大的正数
存在
当
时，
收敛，根据比较原则，收敛. 所以收敛.
当且仅当
即时，原不等式中的等号成立.
【答案】原不等式
则.
从而原不等式成立.
故在上单调递减.
5． 证明数列
【答案】显然
设即
有上界
解得
则
下证
的极限存在，并求其值. 有上界
.
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
二、解答题
6． 计算下列第二型曲面积分
其中S 为由
体表面并取外侧为正向；
其中S 是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取
外侧正向；
其中S 是由平面
侧为正向；
其中S 是球面
的上半部分并取外侧为正向；
其中S 是球面
【答案】(1) 因
所以原积分由于
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六个平面所围的立方
和所围的四面体表面并取外
并取外侧为正向。
(2) 由对称性知只需计算其中之一即可。
因此原积分(3) 由对称性知，
(4) 作球坐标变换，令
(5) 由轮换对称知只计算
由
利用极坐标变换可得
因此原式
7． 求极限
【答案】考虑二元函数
易知f (x , y ) 是数，因此
故
8． 若
【答案】
问对于
之差分别是多少？
上的连续函数，从而积分
是
上的连续函
故
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