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一、证明题

1． 设S 为非空有下界数集. 证明：

【答案】必要性，设的任一元素X ，

充分性，设取

2． 证明：若

【答案】

由单调递增数列.

进一步，由由设

3． 设f

在

【答案】当n=l时，取当

时，令

则有

则有

若若

f

在

点

使得

故对任何正整数n ，存在

4． 设

求证

：

使得

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因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素

则数列

收敛，并求其极限.

，可推出

得收敛.

所以

即

使

得

为严格

即是S 的一个下界.

对于任意

则

. 又因为

则

所以是S 的下确界，即

的构造，

知

单调递增且有上界，知

则有上连

续

证明：对任何正整数n ，

存在

命题得证.

中有一个为0, 设全不为0, 则必存在两点上连续，因而

在

则令有其中

命题得证.

使得

上也连续. 由根的存在定理知，存在一

【答案】方法一：

联合

与

当当即得

即得

和

两种情况考虑

.

，

时，

方法二：分

时，

二、解答题

5． 设

(1) 求f (x ) 的傅里叶级数； (2) 级数是否收敛？是否收敛f (x ) ? (3) 级数在【答案】⑴

内是否一致收敛？

上

(2) f (x ) 满足收敛定理条件，所以f (x ) 的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在

(3) 因为f (x ) 的傅里叶级数的和函数在

内不连续，所以级数在

内不一致收敛.

6． 已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：

【答案】

7． 设a>0, 求曲线数为

上的点到xy 平面的最大与最小距离.

到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知

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对L 求偏导并令它们都等于0得

解之得

»

或因此

与

是

的稳定点，且所求的条件上存在最大值与最小值，

因此

极值点在其中取得. 由于d=z

在有界闭集

时

8． 讨论狄利克雷函数

【答案】

对于任意的而

对于任意的正有理数r 有

总有

与

:时

就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

的有界性、单调性与周期性.

故

在R 上有界

.

可见，D （x ）在R 上不具有单调性

.

因此，对任意

有

所以，任意正有理数都是D （x ）的周期，即D （x ）是R 上的周期函数. 9． 将

【答案】令

的幂展开成幂级数。 则,

因此

因为当-l

即得

亦即

10．计算下列第二型曲面积分：

(1) (2

)

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其中为锥面的外侧； 其

中

是闭曲面