2017年中国矿业大学(北京)理学院602数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试确定级数证明你的结论.
【答案】由
所以当x>0时级数敛域为
由于
而
所以级数的一般项在敛
. 而
因因为
敛，所以点
的任意性可知
有
收敛(利用比式判别法) ，故在
上连续，所以
当
上一致收敛，从而
内连续、可微.
时有
内不一致收敛于0，故级数
使得当在
在时有
上一致收敛.
上连续，从而在点
而
上可微，因此在点
连续.
收可微. 由
内不一致收
收敛，当x<0时发散，当x=0时级数
发散，所以级数的收
的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？
2． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.
【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.
设
为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在
的子列
满足
则
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存在一个使的
它必有聚点
从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，
知在
连续，
当从而
在
存在. 并且对
’
时，连续. 由
的任意性，知
存在
使得
令上述
即当
是F 上的连续函数. 证明：
由
时
，
3． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足
(1) (2)
【答案】(1)
设
是，是f (x ) 的一个上界，而
(2)
设
只需证
只需证
是f (x ) 的最小上界，故
因为对一切
因对一切
有
有
于是
于是
g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故
4． 设是一个严格开区间套，即满足
且
证明：存在惟一的一点使得
【答案】由题设知
，
又
因
是一个闭区间套. 由区间套定理知，
存在惟一的点
所
以
使得即
二、解答题
5． 在下列数列中哪些数列是有界数列，无界数列以及无穷大数列：
（1）（2）（3）（4）（2）因为（3）因为（4）因为
6． 在下列积分中改变累次积分的顺序：
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所以
所以
所以
是有界数列，但
是无界数列，但不是无穷大数列. 不存在.
【答案】（1）因为
是无穷大数列，也是无界数列.
所
是无界数列，但不是无穷大数列.
【答案】
(如图1)
图1
(2)
(如图2)
图2
(3)
(如图3)
图 3
(4)
(如图4)
图4
7． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由
(2) V 是由曲面【答案】(1)
由
所围的立体.
因此积分区均
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和z=x+y所围的立体；