2017年重庆大学数学与统计学院621数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 若在区间I 上，对任何正整数n ，
证明：当【答案】因为意.
及任意
在I 上一致收敛时，级数有
从而由
得
所以，由柯西准则知，
级数
2． 证明：
(1) 方程(2) 方程【答案】(1)
令
的开口向上，于是
.
个不同的实根. 使得
(2)
令
并且
但这是不可能的. 因为
有一个实根
使得
故方程并且
(ii ) 设n 为正奇数. 如果方程
.
在区间不妨设
则.
则
当
(这里c 为常数) 在区间
内不可能有两个不同的实根；
U 为正整数，p 、q 为实数) 当n 为偶数时至多有两个实根；
则
由方程
得
抛物线
内有两
在I 上一致收敛.
在I 上也一致收敛.
总存在N>0, 使得当n>N时，对任
在I 上一致收敛，故对任给的
当n 为奇数时至多有三个实根.
内恒为负. 用反证法证明原命题.
如果在区间
由罗尔中值定理知，存在在区间
内不可能有两个不同的实根.
时，
使得
使得
它在实数集R 上有且仅
时，显然成立；当
但这是不可能的. 所以方程
(i ) 设n 为正偶数.
如果方程有三个以上的实根，则存在实数
.
根据罗尔中值定理，
存在
是奇次方程
当n 为偶数时至多有两个实根.
有四个以上不同的实根，则根据罗尔中值定理，
存在
但这是不可能的.
因为
是偶次方程
当n 为奇数时至多有三个实
它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程.
根
3． 设是某个区间，数列由迭代公式
求证：(1) 当在区间上严格单调增加时，
产生，如果对
为严格单调数列；
推出
(2) 当在区间上严格单调减少时，相反的单调性.
【答案】(1) 以下分两种情况考虑： ①如果②如果
的两个子列和都为严格单调数列，且具有
那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调増加数列； 那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调下降数列.
恰好是严格单调増加的，应用
(2) 注意到，当f 在区间上严格单调减少时，复合函数
第(1) 小题的结论即得证明.
4． 证明:若函数f 在区间上处处连续，且为一一映射，则f 在上严格单调.
【答案】用反证法. 先证明f
在上是单调的. 若不然，
则至少存在三个点
满足
但而
上应用介值定理，则存在
和
而
由
于f 是一一映射，所以上述不等式为严格的，即
注意到f 在上连续，对f 分别在区间
和
使得
再证明f 在上是严格单调的.
不妨设f 在上是单调递增的，则对任意的，故必有
5． 证明:若f 在
有
注意到在上是一一对应
这表明f 在上是严格单调的. 上连续，
则对任何自然数n
,
【答案】令显然
在上述小区间上连续，且
若分点若不然，
则由
中有一个使
则命题得证.
可知，上述被加项中必有两项异
将[0，1]区间n 等分：
使得
这与f 是一一映射相矛盾，所以f 是单调的.
号，在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.
6．
设证明其中为正整数.
【答案】由保不等式性知当
时，
如果
于是，
那么，对任给的存在使得
故
时
，
即当于是
时，原命题是成立的.
当时，
对任给的
存在
当
由的任意性知
7． 证明：函数
【答案】因为
只要
在上一致连续，所以
，就有
从而
用反证法. 函数
在上不一致连续可表述为：
尽管
应地存
在
满
足
矛盾.
但
显然
，
取
相但
对上述
由
此即为
可知
在区间上一致连续的充要条件是： 只要
就有
二、解答题
8． 计算
【答案】
在任何不包含原点的区域内均有
因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有
其中
表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.
选取
适当小，使
完全落在L 内，则有
其中L 是椭圆方向沿逆时针方向.
由此可得
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