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一、证明题

1． 证明:对于由上、下两条连续曲线平面图形A , 存在包含A 的多边形极限存在且相等.

【答案】设等分分割

取

于是,

分别取

与

相连构成多边形

在

上的每一段,

相连构成多边形包含A , A

包含

又因为

而

与

在

上连续, 因而可积, 且

因此

2． 设当

因

为

时, 时

,

, 而

, 所

以

. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

, 从

而

, 这与题

设

; 分别取

与

在

上的每一段,

因此

与

以及两条直线x=a与x=b

, 使得当

所围的

以及被A 包含的多边形

时, 它们的面积的

【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则

矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

3． 证明:若f （x

）在有限开区间内可导, 且

.

f x ）【答案】补充定义（在a , b 的值如下:上满足罗尔中值定理的条件, 于是存在一点

, 使得

.

, 则至少存在一点

. 则

,

使

在闭区间

4． 设定义在[a, b]上连续函数列满足关系

对于在[a, b]上的可积函数f , 定义

证明:

收敛, 且有不等式

【答案】设

依题意可知

与

均在[a, b]上可积

.

其中

所以

故

即级数

的部分和有上界, 从而

收敛, 且

5． 设f （x

）在

内可微, 且满足不等式

证明:存在一点, 使得

【答案】由已知的不等式, . 令

则

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由推广的罗尔定理

,

使得

即

二、解答题

6

． 求曲线

（a>0, b>0）的全长.

贅

因此

7． 由拉格朗日中值定理, 对

求证:

.

, 使得

方法一:用带皮亚诺余项的泰勒公式, 得

于是

即

即得

.

【答案】将曲线改写成参数方程,

并计算微弧: