2018年兰州交通大学数理学院602数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明对任意自然数n ,
方程
. 【答案】令
因此, 由连续函数的零点定理知, 又从而
在
上存在惟一的零点, 即方程.
.
, 使得
, 使得
,
则
.
严格递增.
取
在
则
上有零点.
所以
在
上单调.
在区间
上总有惟一实根X n ，
并求
在区间[0, 1]上总有惟一实根对
2． 设函数f （X ）在区间
【答案】若
下证:在题目的条件下
,
,
.
使若若
则当
, 则当
并令并令
两边取极限得
上二次可微, 且有界. 证明:必变号. 若不然,
不妨设
变号, 由导数的介值性,
时, 有
时, 有
这与f （x ）有界性假设相矛盾.
对
可类似地证明.
证明:
【答案】设有对于任意正数
【答案】对于
存在
则任意
使得
于是
,
则
即
故故
是是
的一个下界. 又
的下确界,
即
3． 设S 为非空数集, 定义
4． 按定积分定义证明
:
的任一分割
, 任取
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相应的积分
和为
从而
可取为任何正数, 只要使
, 就有
根据定积分定义有
二、解答题
5． 求下列函数的n 阶导数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1
）
,
（2
）（3）
……
（4）
由莱布尼茨公式得
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.
.
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（5
）
又因当（6）
设则
,
,
时,
所以
.
……
6． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）（2）（3）
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