2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
的3个线性无关的解，为任意
3．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ） 4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． P 是数域，a 是一个复数，它满足P 上的一个k 次多项式方程 （1）令（2 ）若 就有（3）（4）是k 维的. 是一个数域. 生成，只要对任何 即 是 的线性组合， 郎有由则 是零生 【答案】（1）易知F （a ）对数的加法及对P 中数的数量乘法是封闭的. 又是非空集合，故它是P 上线性空间. 要 证它能由或次数 成. 现设此中即 用f （x ）去除g （x ）, 设商式和余式分别是 或者为零或次数把a 代入上式，则 是 的线性组合. f （x ）是使 f （a ） =0的多项式中次数最低的. 而 其中r （x ）或为零或次数于是与又 =0 及 是使若复 数 域 中 的最低次多项式矛盾. 故 可无 零 则 即有约 因是使 f 的最低次多项式矛盾. 故f （x ）不可约. （3）k 次多项式f （x ）是使f （a ） =0的最低次多项式. 若有不全为零 的数令 次（k 次）多项式矛盾. 故是F （a ）的维数 （4） 的次数. 则 生成此空间. 若满足 的一组基， 于是 则它是P 上线性空间，且可由 是a 满足的P 上多项式方程中次数最低的， 则任意 且 在 中不可约. 是 是具有（2）中所说性质的k 次多项式，则 使得 （2）设得 ， 则 必 有 子， 线性相关，则P 中 使 它的次数 且 这与f （x ）是使 的最低 线性无关，即它是 的作为P 上线性空间的一组基. 于 具有0, 1元素，显然有对数的加法，减法和乘法封闭. 现对