2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
3． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
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）•
4． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 在欧氏空间V 中
（1）若向量
等长，证明：
正交，作出几何解释；
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S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，（2）设V 是n 维的，证明：
是V 的子空间，且
【答案】（1）因为
，所以
几何解释：表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有且
故S 和
7． 设A 是一单位矩阵
E.
显然已是所要的形式.
假设n-1时结论已成立，下证n 时结论也成立. 由
它的第一列必有某
若
但2行1列处的元是1. 再用
若
选1，使
用则可用
右乘A ，则所得右乘A ，则得右乘它，则所得矩阵
矩阵的1行1列元素为到的矩阵的1行1列处仍是
是同一子空间&的正交补，由正交补的惟一性，即证②. 矩阵，
证明：A 可以表成
这一类初等矩阵的乘积. 类型的矩阵左或右乘A 使其变成
仿上题可证是V 的予空间，且
故①成立，
【答案】对A 的级数作归纳法来证明可逐步用
的1行1列处的元是1. 对于以上两种情形，不妨仍记所得的最后矩阵为A , 这时
易知它可用一系列型的矩阵右乘或左乘它，将它变成
由于前面各变换皆保持行列式不变，故
阵，又有
左乘或右乘它，将变成B 变成
8． 设
这就完成了归纳法.
是有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间.
的一组基
把它扩充成W 的一组基
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由归纳假设，能在上用一系列型矩阵
其结果也是在B 上用一系列型矩阵左乘或右乘它，并将
表示由W 中向量的像组成的
子空间. 证明
：
【答案】取