2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 第 3 页，共 39 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则线性方程组（ ）• 【答案】D 【解析】 5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 则分块矩 且 所以 ， 二、分析计算题 6． 设 ①方阵②若【答案】① 若 反之，若于是②因为故若 第 4 页，共 39 页 为方阵A 的最小多项式， 可逆 则 为任一次数大于零的多项式. 证明： 为降秩方阵. 则 可逆， 从而 但 是A 的最小多项式， 故必有 可逆， 则必有 则存在多项式 从而 可设 满秩，则 这与 使 可逆. 故 必为降秩方阵. 又因为 是A 的最小多项式矛盾. 因此，
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