2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设线性方程组
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
则A 与B （ ）.
使
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设均为n 维列向量，A 是
矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则
线性无关.
【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩
则
线性无关，
否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
有
由上述知线性相关，所以于是
因此
线性相关，故选A.
二、分析计算题
6． ①设A ，B 为
矩阵. 证明：若
则
②若n 阶方阵A ，B 满足
证明：存在可逆方阵M ，使AMB=0.
【答案】①因为m>n且AB 是m 阶方阵，故
②设r （A ）=s, r （B ）=t.若s ，t 中有0或n , 则因逆方阵
使
结论显然. 故下设0 显然 可逆且 又 7． （1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的； （2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基. 【答案】（1）设别是A ，B. 再设由 对 则 设 于是 （2）设V 是一个n 维欧氏空间，任取V 的一组基是A. 因为A 是正定矩阵，因此有可逆矩阵C 使 以C 为过渡矩阵，得到V 的另一组基 8． 设 而且 的度量矩阵为E. 所以 是V 的一组标准正交基. 这说明任一欧氏空间都有标准正交基. 其中 ，求Dn. 那么设 所以不同基下的度量矩阵 及到 是欧氏空间V 的两组基. 这两组基的度量矩阵分的过渡矩阵是C. 的度量矩阵是合同的. 【答案】