2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
2． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 证明：
如果向量组
线性表出.
线性无关，
而
使
由
线性相关，
则向量
可以由
将
不全为零，故将
移项，得不全为零，
两端同
【答案】由题设有不全为零的
数
现来证
且有
乘以
则得
与题设
用反证法，若
线性无关矛盾.
故
即可由
线性表出.
也可逆，并求
可逆，且
8． 设
【答案】因为
9． 构造一个3阶实对称阵A ，使其特
征值为
【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
并且对应特征值1有特征
向量因为A 是实对称阵，所以必与已知两证明：
7． 设A 、B 、A+B均为n 阶可逆阵，证明
：
【答案】因为由已知得
令则