2017年青岛大学经济学院432统计学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
独立同分布, 且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
2． 设
服从多项分布
, 所以由
诸
的相互独立性
得
特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知其概率函数为：
其中即
为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，
其中
，i=l, ……k ,
.
记
并把这一分布记作
. 证明：的后验
分布为Dirichlet 分布
【答案】因为的后验概率函数为
所以的后验分布服从Dirichlet
分布
3． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
，其中
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在
也是常数, 故有
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
4． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
试证不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
所以不是的无偏估计.
5． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
6． 设随机变量序列证:
【答案】这时 7． 设证:
【答案】注意到
故
证明完成.
为一个样本,
是样本方差, 试
仍为独立同分布, 且
由辛钦大数定律知结论成立.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
8． 设为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
二、计算题
9． 若随机变量
【答案】方程由此得知
10．设总体X 的概率密度为_
是来自总体X 的简单随机样本
（I ）求参数的矩估计量； （II
）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由
令（II
）设
得参数的矩估计量为
其中参数
未知
，
而方程
无实根的概率为0.5，试求
无实根等价于16-4K<0，所以由题意知
为样本观测值，则似然函数为
于是