2017年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
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弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
使有时, 任对
, 有
使当
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因
所以得, 即
由于-X 的特征函数为所以
3． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
【答案】对任意的即
4． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
结论得证.
故是实的偶函数.
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
5． 设随机变量
【答案】若随机变量而
证明
则
也服从
的相互独立性可导致
从而
这就证明了
6． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交
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（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
所以
所以
所以
为一事件域，所以
其中
由
由
由（3）（有限交）得
得得
故其对立事件
7． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.
【答案】因为
所以由单调性知
从而得
又因为
所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.
8． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
二、计算题
9． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
于是
由此给出
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