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一、证明题

1． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

在区间

上服从均匀分布.

代入函数

2． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:

有

. 又设

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则

当

时,

下面求Y 的分布函数

综上所述, 得到Y 的分布函数为

上式恰好是区间即证明了

3． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布. 独立同分布，且

且

令

试证明:

其中c 为常

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即

有

4． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

5． 设二维随机变量

服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为

是来自该总体的样本，

证明:二维统计量

【答案】该二元正态分布的密度函数为

是该二元正态分布族的充分统计量.

此处，

故

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，结论成立.

6． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

令

因而

故