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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数，由唯一性定理知

，证明:

【答案】

3． 证明公式

【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出

而对

对

其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在

时都为0, 等式得证.

2． 若事件A 与B 互不相容，且

且X 与Y 独

4． 设存在，且N 与

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

5． 设总体二阶矩存在，

【答案】不妨设总体的方差为

是样本，证明则

由

由于，

因而

所以

6． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

与的相关系数为

的费希尔信息量存在，若二阶导数

对一切的

存在，

所以

另一方面，

这就证明了

7． 设

试证明:当n 充分大时

，

为一独立同分布的随机变量序列，已知

近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.

【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为

8． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

.

，移项即得结论.

9． 总体

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

，其中

是未知参数，又

为取自该总体的样本，

为样本均值.

（1）证明是参数的无偏估计和相合估计；

，则

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

，从而