2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
2． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
3． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
.
利用此结果计算的泊松分布
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即，于是
式的两端再对求导，得
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
，因而
t
4． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
证明
则所以
也服从
从而
而
这就证明了
6． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
故
再证必要性，若
是实的偶函数.
5． 设随机变量
【答案】若随机变量
所以
7．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
8． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
所以由此得
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
时上式达到最小，最小值为，它小于的均方误差.
相互独立，且都服从和
则
的密度函数为则
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
又因为
时，
又设时，
的密度函数为
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